剪绳子（整数拆分）
问题简述
给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，使这些整数的乘积最大化。返回最大乘积。详细描述
给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。
示例 1：
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
提示：
2 <= n <= 58
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-lcof
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。思路1：动态规划
在不使用任何数学结论的前提下，可以把本题当做纯 dp 来做：
Python（写法1）
LeetCode 官方题解中的写法：整数拆分
class Solution:
def integerBreak(self, n: int) -> int:
dp = [1] * (n + 1)
for i in range(2, n + 1):
for j in range(1, i):
# 状态定义：dp[i] 表示长度为 i 并拆分成至少两个正整数后的最大乘积（i>=1）
# j * (i - j) 表示将 i 拆分成 j 和 i-j，且 i-j 不再拆分
# j * dp[i - j] 表示将 i 拆分成 j 和 i-j，且 i-j 会继续拆分，dp[i-j] 即为继续拆分的最优结果（最优子结构）
dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]))
return dp[n]Python（写法2，推荐）
《剑指Offer》中的写法
class Solution:
def cuttingRope(self, n: int) -> int:
# 对于 n = 2、3 的情况，直接硬编码
if n == 2:
return 1
if n == 3:
return 2
# 状态定义：dp[i] 表示长度为 i 并拆分成至少两个正整数后的最大乘积（i>3）
# 当 i <= 3 时，不满足该定义，此时不拆效率最高
# 初始状态（dp[0] 仅用于占位）
dp = [0,1,2,3] + [0] * (n - 3)
for i in range(4, n + 1):
for j in range(2, i):
dp[i] = max(dp[i], dp[i-j] * dp[j])
return dp[n]思路2：数学/贪心
数学上可证：尽可能按长度为 3 切，如果剩余 4，则按 2、2 切；
简述：当
x >= 4时，有2(x-2) = 2x - 4 >= x；简言之，对任意大于等于 4 的因子，都可以拆成 2 和 x-2 而不损失性能；因此只需考虑拆成 2 或 3 两种情况（1除外）；而由于2*2 > 3*1和3*3 > 2*2*2，可知最多使用两个 2；
Last updated