连续子数组的最大和

问题简述

给定一个整型数组，求其连续子数组的最大和。

详细描述

输入一个整型数组，数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。

要求时间复杂度为O(n)。

示例1:
    输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
    输出: 6
    解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

提示：
    1 <= arr.length <= 10^5
    -100 <= arr[i] <= 100

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/lian-xu-zi-shu-zu-de-zui-da-he-lcof
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思路：动态规划

• 状态定义：记 dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的连续子数组最大和；

  “以 nums[i] 结尾”表示就是这个数一定会加上去，那么要看的就是这个数前面的部分要不要加上去——大于零就加，小于零就舍弃。

• 转移方程：

  • 当 $dp[i-1] > 0$ 时：执行 $dp[i] = dp[i-1] + nums[i]$；

  • 当 $dp[i-1] \le 0$ 时：执行 $dp[i] = nums[i]$；

Python

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:

        n = len(nums)
        dp = [float('-inf')] * n

        dp[0] = nums[0]
        for i in range(1, n):
            dp[i] = max(nums[i], dp[i-1] + nums[i])
        
        return max(dp)

优化：因为每次只与上一个状态有关，所以可以只使用一个变量来存储；

Python：空间优化

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:

        ret = dp = nums[0]
        for x in nums[1:]:
            dp = max(dp + x, x)
            ret = max(dp, ret)
        
        return ret