最长递增子序列
问题简述
给定整数数组 nums，返回最长严格递增子序列的长度；
进阶：
你可以设计时间复杂度为 O(N^2) 的解决方案吗？
你能把时间复杂度降到 O(NlogN) 吗?详细描述
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
示例 1：
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
示例 2：
输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4
示例 3：
输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1
提示：
1 <= nums.length <= 2500
-104 <= nums[i] <= 104
进阶：
你可以设计时间复杂度为 O(n2) 的解决方案吗？
你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log(n)) 吗?
来源：力扣（LeetCode）
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状态定义：dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长递增子序列长度；
不能将
dp[i]定义nums[:i]子数组中的最长递增子序列长度，虽然这样定义很直观，但它不满足最优子结构的条件，简单来说，就是你无法通过dp[i-1]得到dp[i]。
Python
class Solution:
def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
ret = 1
dp = [1] * len(nums)
for i in range(1, len(nums)):
for j in range(i):
if nums[i] > nums[j]: # 如果要求非严格递增，将 '>' 改为 '>=' 即可
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
ret = max(ret, dp[i])
return ret思路2：优化 dp 的状态定义
考虑新的状态定义：
dp[i]表示长度为i + 1的最长递增子序列末尾的最小值；dp序列一定时单调递增的，可用反证法证明，详见：最长递增子序列（动态规划 + 二分查找，清晰图解） - Krahets该怎么想出这个定义？——多看多做
是否满足最优子结构？
即已知
dp[i - 1]能否递推得到dp[i]；显然是可以的，当nums[i] > dp[i - 1]时，长度+1，否则，长度不变；
如何更新
dp？当
nums[i] > dp[i - 1]时，直接添加到末尾；否则，要看是否需要更新
dp。根据dp递增的性质，找到nums[i]在dp中应该插入的位置，记idx；比较dp[idx]与nums[i]的大小，如果dp[idx] > nums[i]根据定义，更新dp[idx] = nums[i]；
从“贪心”角度来解释以上过程：如果我们要使上升子序列尽可能的长，则应该让序列上升得尽可能慢，即每次在上升子序列最后加上的那个数尽可能的小。
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