最小路径和

问题简述

给定一个非负整数的 m x n 网格 grid，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

64. 最小路径和 - 力扣（LeetCode）

详细描述

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例 1：
    输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
    输出：7
    解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
示例 2：
    输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
    输出：12

提示：
    m == grid.length
    n == grid[i].length
    1 <= m, n <= 200
    0 <= grid[i][j] <= 100

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/minimum-path-sum
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思路：动态规划

Python

class Solution:
    def minPathSum(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        if not grid: return 0

        m, n = len(grid), len(grid[0])
        dp = [[0] * n for _ in range(m)]

        # 初始化
        dp[0][0] = grid[0][0]
        for i in range(1, m):
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0]
        for j in range(1, n):
            dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j]

        # print(dp)
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]
        
        return dp[-1][-1]

空间优化：展开循环可以发现，内循环每次遍历实际只会用到上一层的和当前层左边的结果（详见代码）；

Python

class Solution:
    def minPathSum(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        if not grid: return 0

        m, n = len(grid), len(grid[0])
        dp = [0] * n

        # 初始化
        dp[0] = grid[0][0]
        for j in range(1, n):
            dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j]

        # print(dp)
        for i in range(1, m):
            dp[0] = dp[0] + grid[i][0]  # 初始化每一层最左边的结果
            for j in range(1, n):
                # dp[j - 1] + grid[i][j] 表示从左边移动
                # dp[j] + grid[i][j] 表示从上方移动
                dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j]
        
        return dp[-1]